Научные труды - Publikationen

Dr.-Ing. H.-B. Fischer

Dr.-Ing. B. Vtorov

Dr. rer. nat. G. Leidigkeit 

Im Ergebnis von Voruntersuchungen der Korngrößenanalyse (Verteilung nach Partikeldurchmesser) des synthetischen Anhydrits aus dem Werk Bad Wimpfen wurde deutlich, dass zwei Maxima auftreten. Diese Kurve kann man sich als Resultat der Überlappung zweier Normalverteilungen vorstellen. Jene mit den kleineren Partikeldurchmesser ergibt sich prozeßbedingt und ist somit - nach der Anschauung des Herstellers - als unbeeinflußbar anzusehen. Die zweite Normalverteilung (größerer Partikeldurchmesser) zeigt das Ergebnis des Mahlprozesses. Da bei einer maximalen Packungsdichte der Partikel die größte Festigkeit des Estrichs zu erwarten ist, sollte eine Optimierung beider Fraktionen hinsichtlich ihres Größenunterschiedes erfolgen. Außerdem kann davon ausgegangen werden, dass unterschiedliche Hohlraumanteile das Längenänderungsverhalten (einschließlich Trocknungsschwinden) maßgeblich beeinflussen.

Um einige theoretische Überlegungen anzustellen macht es sich erforderlich, die Kornform vereinfacht als Kugel zu betrachten. Darüber hinaus gelten folgende weitere Annahmen:

• alle Kugeln einer Korngruppe haben den gleichen Durchmesser,
• die Kugeln mit dem größeren Durchmesser sind tetraedrisch gelagert,
• alle kleineren Kugeln gleiten aneinander und zwischen den Grundkugeln reibungslos.

Die hierbei gefundenen Zusammenhänge sind näherungsweise auch auf gedrungene Kornformen übertragbar.

In einer Packung gleich großer Kugeln (Einkornpackung) mit einem Durchmesser von D sind verschiedene Mittelpunktstellungen der Kugeln möglich:

• kubische Mittelpunktstellung
• oktaedrische Mittelpunktstellung
• tetraedrische Mittelpunktstellung.

Verbindet man die Mittelpunkte der Kugeln bei kubischer Anordnung, so ergibt sich als geometrische Figur ein Würfel.

Des weiteren findet man bei KESSLER /4/ den Begriff des Spatelements. Ein solches Spatelement kommt durch Kombination zweier Tetraeder mit einem Oktaeder zu Stande. In /4/ wird ausgeführt, dass durch Tetraeder bzw. Oktaeder allein ein Raum nicht lückenlos auszufüllen ist. Lediglich durch eine Stapelung von Spaten kann ein Raum vollständig ausgefüllt werden.

Der Hohlraum bei solchen Kugelpackungen ist unabhängig vom Kugeldurchmesser und wird ausschließlich durch die Mittelpunktstellung der Kugeln bestimmt. Er beträgt bei kubischer Mittelpunktstellung 47,6 % /1, 5/ sowie oktaedrischer / tetraedrischer Mittelpunktstellung 25,95 % /1, 5, 6/. Auch bei der Betrachtung von Spatelementen erhält man einen Hohlraumanteil von 25,95 % /4/.

Im Ergebnis praktischer Messungen /1/ wurde festgestellt, dass bei rundlicher Kornform (Sande) der Hohlraum bei loser Einfüllung 45 % und eingerüttelt 37 % beträgt. Bei sehr splittriger Kornform kann der Porenraum bei loser Einfüllung bis auf etwa 60 % anwachsen. Die Kornform beeinflusst somit die Verdichtungswilligkeit des Materials. Einkorngrößen kleiner 1 mm führen zu stark differierenden Porenräumen.

Bei einer Einkorn-Kugelpackung berühren sich die Kugeln gegenseitig, sie befinden sich immer auf �Tuchfühlung�. Mehrkorn-Kugelpackungen bestehen aus Kugeln von mindestens zwei verschiedenen Größen. Die größeren Kugeln in Mehrkorn-Kugelpackungen werden als Haupt- bzw. Grundkugeln oder im mathematischen Sinne als Erstkugeln bezeichnet. Treten Kugeln zweiter Ordnung (Durchmesser D₂) hinzu, so hängt deren Wirkung vom Lagerungsfall der Kugeln D₁ und von der Größe der Kugeln D₂ (Verhältnis: D₁/D₂) ab. Diesbezüglich unterscheidet man Sperrkugeln, Füllkugeln und Schlüpfkugeln.

Füllkugeln sind solche, die gerade in die Zwickel der Hauptkugeln D₁ hineinpassen. Sie werden im mathematischen Sinne auch als Zweitkugel bezeichnet.

Schlüpfkugeln sind solche, die soeben noch die Engpässe zwischen den Kugeln D₁ passieren.

Als Sperrkugeln werden Kugeln D₂ bezeichnet, deren Durchmesser

• etwas größer ist als der der Füllkugeln;
• etwas größer ist als der der Schlüpfkugeln.

Zu beachten ist, dass bei kubischer Mittelpunktstellung der Hauptkugel D₁ die Füllkugel D₂ (= 0,732 D₁) ihren Platz nicht mehr einnehmen kann, wenn bereits die nächste Deckkugel D₁ auf der unteren Viererreihe sitzt. Bei üblicher Verarbeitung von nahezu kugelförmigen Körpern im Baustoffbereich (Beton, Bindemittel) stellt sich also mit geringer Wahrscheinlichkeit eine ideale Füllkugelreihe ein.

Schlüpfkugelreihen hingegen werden sich weitgehend realisieren lassen, da Schlüpfkugeln jederzeit durch die Engpässe des nächst größeren Korns gelangen können. Dies führt zu der gewünschten, deutlichen Vergrößerung der Packungsdichte.

Für praktische Belange gilt es die Ausbildung von Schichten auf der Kornoberfläche durch beginnende Hydratations- und Sorptionsvorgänge (sowie unregelmäßige Kornformen) zu berücksichtigen. HUMMEL /1/ schlägt deshalb vor, den Schlüpfkorndurchmesser wir folgt zu ermitteln: D_{2 S} = 0,14 D₁.

In /4/ ermittelt KESSLER für das betrachtete Spatelement einen Durchmesser des Zweitkorns (Füllkorns) mit: D₂ = 0,315 D₁

In der Praxis werden die Körner des Haufwerkes nicht nacheinander eingegeben sondern gemischt. Deshalb können zur Hohlraumfüllung auch Füllkugeln herangezogen werden /2/.

Je dünnflüssiger die Paste und intensiver der Mischvorgang, desto größere Packungsdichten lassen sich erzielen, indem der Anteil an Füllkorn im Vergleich zum Schlüpfkorn erhöht werden kann. Außerdem ist davon auszugehen, dass die Grundkugeln eine oktaedrische bis tetraedrischen Mittelpunktstellung realisieren können. Hierfür würde der Durchmesser des Füllkorn D₂ im Bereich 0,414 ... 0,225 D₁ liegen.

Bei unzureichendem Mischprozeß ist eine Strukturverdichtung fast nur durch Schlüpfkornbewegung zu erzielen. D₂ beträgt dabei 0,14 D₁.

Es sind also 2 Grenzfälle zu betrachten:

Bei KESSLER /4/ ergeben sich folgende Resultate auf der Basis des ihm betrachteten Spatelementes:

Spatvolumen: V_Sp = 0,707 D₁³

Volumen der Erstkugel V₁ = 0,524 D₁³  

Anzahl der Erstkugeln: 1

Volumen der Zweitkugeln: V₂ = 0,049 D₁³ 

Anzahl der Zweitkugeln: 3

Packungsdichte durch Erstkugel: V₁ : V₀ ≈ 74 %

Packungsdichte durch Zweitkugeln: V₂ : V₀ ≈ 7 %

Packungsdichte durch Erst- und Zweitkugeln: 81 %

Hohlraum: 19 %

Nach Auffassung des Verfassers kommt es bei tetraedrischer Betrachtung zu nachfolgenden Volumenverhältnissen.

Mittelpunktstellung des Grundkorns: tetraedrisch

Durchmesser des Grundkorns D₁

Durchmesser des Füllkorns D₂ = 0,225 D₁

Volumen des Tetraeders: V_T = 0,102 D₁³

Volumen des Grundkorns im Tetraeder: V_1T = 0,070 D₁³

Volumen des Füllkorns: V_2F = 0,225³ � D₁³ = 0,0114 D₁³

Hohlraum: 20,2 %

Volumenanteil Grundkorn: 68,6 %

Volumenanteil Füllkorn: 11,2 %

FUCHS und SCHULZE /2/ erzielen eine ideale Packungsdichte unter Annahme einer gemischten Folge. Entsprechend ihren Ausführungen ist davon auszugehen, dass tetraedrisch gelagerte Grundkugelhaufwerke 2 verschiedene Hohlraumtypen enthalten, die zwei verschiedene Füllkugelgrößen erfordern: eine D_2/1 und zwei D_2/2 je Grundkugel.

Mittelpunktstellung des Grundkorns: tetraedrisch

Durchmesser des Grundkorns D₁

Durchmesser des Füllkorns (1) D_2/1F (1x) D_2/1 = 0,414 D₁

Durchmesser des Füllkorns (2) D_2/2F (2x) D_2/2 = 0,225 D₁

Volumen des Tetraeders: V_T = 0,102 D₁³

Volumen des Grundkorns im Tetraeder: V_2T = 0,070 D₁³ entspricht 0,134 V₁

Volumen des Füllkorns (1) je 1 Grundkorn V_2/1F = 0,134 � 1 � 0,414³ � D₁³ = 0,009 D₁³

Volumen des Füllkorns (2) je 1 Grundkorn V_2/2F = 0,134 � 2 � 0,225³ � D₁³ = 0,003 D₁³

Hohlraum: 19,6 %

Volumenanteil Grundkorn: 68,6 %

Volumenanteil Füllkorn: 11,8 %

In diesem Fall ist davon auszugehen, dass der Zwickel zwischen den Grundkugeln nur durch Schlupfkorn ausgefüllt werden kann. Je Zwickel können ca. 9 Schlüpfkörner eingelagert werden. Für das Tetraeder ergeben sich dabei folgende Zusammenhänge.

Mittelpunktstellung des Grundkorns: tetraedrisch

Durchmesser des Grundkorns D₁

Durchmesser des Schlüpfkorns D_2S D_2S = 0,155 D₁

Anzahl der Schlüpfkörner je Grundkorn: 9

Volumen des Tetraeders: V_T = 0,102 D₁³

Volumen des Grundkorns im Tetraeder: V₁ = 0,070 D₁³

Volumen des Grundkorns im Tetraeder: V_1T = 0,070 D₁³ entspricht 0,134 V₁

Volumen der Schlüpfkörner: V_1S = 0,134 � 9 � 0,155³ � D₁³ = 0,0045 D₁³

Hohlraum: 27 %

Volumenanteil Grundkorn: 68,6 %

Volumenanteil Füllkorn: 4,4 %

Bisher wurde das Packungsverfahren besprochen. Darüber hinaus hängt die Packungsdichte entscheidend von der Partikelform ab. Für Kugeln erhält man minimale Hohlräume, für Partikel deren Form von der Kugelform abweicht, nimmt der Hohlraum zu und damit die Packungsdichte ab /3/.

Der in Bad Wimpfen z.Z. erhaltene Anhydrit lässt sich als Summe zweier Normalverteilungen darstellen. Maximale Volumenanteile werden bei ca. 40 μm und 2,5 μm erreicht. D.h. das Durchmesserverhδltnis beträgt ca. 15 : 1, damit gilt D₁ >> D₂ (siehe Abb. 1).

Ausgehend vom Spatmodell kann das gesamte vom Erstkorn (Grundkorn) nicht beanspruchte Volumen durch viele Zweitkörner ausgefüllt werden, wenn D₁ >> D₂ Das Spatvolumen beträgt V_S = 0,707 D₁³. Das vom Erstkorn eingenommene V₁ beträgt 0,524 D₁³. Somit ergibt sich im Spatelement ein verfügbarer Raum von 0,183 D₁³. Dieser kann nun durch Zweitkörner ausgefüllt werden. Vereinfacht soll angenommen werden, dass eine oktaedrische Mittelpunktlage dieser Zweitkörner sich realisieren lässt und der verfügbare Raum ohne Einschränkungen ausgefüllt werden kann.

Der Hohlraum dieser Zweitkörner beträgt bei einer Einkorn-Kugelpackung mit oktaedrischer Mittelpunktstellung, wie oben bereits ausgeführt, 25,95 %. Damit ergibt sich aus dieser Betrachtung folgende Volumenverteilung:

Volumen des Spatelementes: V_S = 0,707 D₁³

Volumen der Erstkugel: V₁ = 0,524 D₁³

Summe der Volumina der Zweitkugeln: V₂ = 0,136 D₁³

Hohlraum: V_H = 0,047 D₁³

Volumen- bzw. Massenverhältnis Erstkugel zu Zweitkugel: V₁ : V₂ = 3,85

Für eine optimale Packungsdichte von (V₁ + V₂) : V_S = 0,93 müssten 1000 g des synthetischen Anhydrits aus 794 g des größeren Korns sowie 206 g des kleineren Korn bestehen. Dies entspricht aber nicht den technologischen Gegebenheiten.

Entsprechend dem Ergebnis einer Korngrößenanalyse (Kurzbericht des FIB vom 20. August 1999) ist davon auszugehen, dass das Volumenverhältnis in Bad Wimpfen z.Z. etwa 2 : 1 zu Gunsten der feineren Verteilung beträgt.

Ausgehend von einer Zusammensetzung 630 g feineres Korn zu 370 g größeres Korn ergibt sich folgende Volumenverteilung:

Volumen- bzw. Massenverhältnis Erstkugel zu Summe an Zweitkugeln: V₁ : V₂ = 0,59

Volumen der Erstkugel: V₁ = 0,524 D₁³

Summe der Volumina der Zweitkugeln: V₂ = 0,888 D₁³

Hohlraum: V_H = 0,311 D₁³

Gesamtvolumen: V_G = 1,723 D₁³

Für den z.Z. gegebenen Fall lässt sich somit eine Packungsdichte von 0,82 ermitteln, die damit deutlich schlechter im Vergleich zur optimalen abschneidet.

Der Volumenanteil und damit der Massenanteil größeres Korn zu kleinerem Korn ist technologisch bedingt und lässt sich kaum beeinflussen. Aus diesen Grunde kann eine Veränderung der Packungsdichte nur durch eine Veränderung der Durchmesserverhältnisse Erstkorn (größeres Korn) zu Zweitkorn (kleineres Korn) erreicht werden. Da das Zweitkorn in seiner Größe technologisch vorgegeben ist (2,5 μm) kann nur das Erstkorn durch Verδnderungen im Mahlprozeß in seiner Größe beeinflusst werden. Dabei soll das Massenverhältnis unverändert bleiben.

Wird der entstehende Anhydrit nicht so fein wie bisher aufgemahlen (40 μm), so gilt fόr ein zu betrachtendes Spatelement, dass der entstehende Hohlraum durch die gegebenen Zweitkörner (2,5 μm) als Einkorn-Kugelpackung mit oktaedrischer Mittelpunktstellung vollständig ausgefüllt wird. Hierfür stehen ausreichend Zweitkörner zur Verfügung. Das Volumen- bzw. Massenverhältnis Erstkugel zu Summe an Zweitkugeln bleibt unverändert erhalten: V₁ : V₂ = 0,59. Unverändert bleibt auch der Volumenanteil des Hohlraumes in der Einkorn-Kugelpackung mit 25,95 %. Daraus leitet sich ab:

Volumen der Erstkugel: V₁ = 0,524 D₁³

Summe der Volumina der Zweitkugeln: V₂ = 0,888 D₁³

Hohlraum: V_H = 0,311 D₁³

Gesamtvolumen: V_G = 1,723 D₁³

Packungsdichte: 0,82

Daraus folgt, dass der Hohlraum und damit die Packungsdichte bei D₁ >> D₂ unabhängig vom Durchmesserverhältnis ist.

Auch bei einer feineren Aufmahlung des Erstkorns unter 40 μm kommt es zu keinerlei Δnderung des betrachteten Sachverhaltes, solange bis Erst- und Zweitkorn in ihrem Durchmesser vergleichbar werden. Für den Fall D₁ = D₂ geht die Zweikorn-Packung in eine Einkornpackung über, deren Packungsdichte im idealen Fall 0,7405 (Hohlraum: 0,2595) beträgt (siehe oben). Dies entspricht einer geringeren Packungsdichte als der mit 0,82 z.Z. gegebenen.

Der z.Z. produzierte synthetische Anhydrit weist in seiner Korngrößenverteilung zwei Maxima auf und kann daher als Summe zweier Normalverteilungen aufgefasst werden: einer feinen und einer groben. Unter Berücksichtigung zahlreicher Vereinfachungen (insbesondere wird die Kornform als Kugel aufgefasst sowie jede Normalverteilung durch einen mittleren Durchmesser charakterisiert) lässt sich eine �theoretische� Packungsdichte von 0,82 ermitteln.

Eine Änderung des Mahlregimes kann zu keiner höheren Packungsdichte führen, solange das vorhandene Massenverhältnis �feine Verteilung zu grober Verteilung� von zwei zu eins als gegeben angesehen wird.

Bei dem bestehenden Größenunterschied von feiner und grober Kornverteilung von ca. 1 : 15 lässt sich eine maximale theoretische Packungsdichte von 0,93 erzielen, wenn 1000 g des synthetischen Anhydrits aus 794 g des größeren Korns sowie 206 g des kleineren Korn bestehen würden.

/1/ A. Hummel "Das Beton-ABC"

Verlag von Wilhelm Ernst & Sohn. � Berlin, 1959. � S. 73 � 76 und 241 � 243

/2/ G. Fuchs, W. Schulze "Kenngrößen unstetiger Kornhaufwerke aus mathematischer und praktischer Sicht"

Bauforschung � Baupraxis, Heft 11 (6. Ibausil). � Bauinformation. - Berlin, 1978. � S. 13 � 14

/3/ L. ParbØl, P. Goltermann, V. Johansen "Optimieren von Zuschlagstoffen im Beton"

Conctrete Precasting Plant and Technology. � 11, 1994. � S. 58 � 62

/4/ H.-G. Kessler "Kugelmodell für Ausfallkörnungen dichter Betone"

Betonwerk + Fertigteiltechnik. � 11, 1994. � S. 63 � 66

/5/ V.V. Paturojev ""Technologija Polymerbetonov"

Strojisdat. � Moskau, 1977. � 240 S. (S. 128 � 135)

/6/ D. Stoyan "Von Feinfrosterbsen zum Booleschen Modell der stochastischen Geometrie"

Freiberger Mathematische SemesterBlätter. � Nr. 1, SommerSemester 1997. � S. 1 � 9